【数学】円錐の回転体って面倒くさいよねって話【東大2017[6],阪大2013[2]】

問題

東大2017[6]

点Oを原点とする座標空間内で、一辺の長さが1の正三角形OPQを動かす。また、点A(1,0,0)に対して、∠AOPを[math]\theta[/math]と置く。ただし[math]0^\circ≦\theta≦180^\circ[/math]とする。

(1)
点Qが(0,0,1)にあるとき、点Pの[math]x[/math]座標がとりうる値の範囲と、[math]\theta[/math]がとりうる値の範囲を求めよ。

(2)
点Qが平面[math]x=0[/math]上を動くとき、辺OPが通過しうる範囲を[math]K[/math]とする。[math]K[/math]の体積を求めよ。

阪大2013[4]

[math]xyz[/math]空間内の3点O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0)を頂点とする三角形OABを[math]x[/math]軸のまわりに1回転してできる円錐を[math]V[/math]とする。

円錐[math]V[/math]を[math]y[/math]軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。

これらの問題は最終的に同じ内容を表しています。

 

解説はこちらから(外部リンク)。

 

ビジュアル化してみる

平面を回転させて立体を作るならばまだイメージしやすいですが、立体を回転させて立体を作るのはかなり想像しにくいです。

円錐に限らず、柱やその他の立体を回転させるのが面倒なんですね…。

 

こちらで阪大の回転体をシミュレートしています。

黒い円錐が回転させる円錐、
青い立体が出来上がる立体(球から赤い部分をくり抜いた形)。

完成図を理解していないと、この絵を見てもなんのことやらって感じでしょうか…(笑)

 

どうやら、自分で関数を入れてシミュレーションできるツールがあるそうです☟

こちらを使って円錐を回転してみると…、

もうちょっと回して…、

完成した立体を俯瞰すると…、

こんな感じです。
さっきよりは分かりやすいかな。

 

まとめ

ここでは数字的な解説は行いませんが、ポイントとして円錐回転体は円錐底面が球面を描くということです。

円錐に限らず、円を円から離れた軸まわりで回転させると球っぽい領域を描くんですね…。

「回転軸と円錐底面との距離」が場所によって異なるために生じます。

なので、計算の際はその点に注意していきたいですね!

それでは。